51° 30′ 10″ N, 0° 07′ 34″ OOSM carte ou Le Cénotaphe est un mémorial situé dans le quartier du Whitehall à Londres.
Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d'une norme.
Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est basique en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces Lp.
Structure générale
Définition
Article détaillé : Norme (mathématiques).
Soit K un corps commutatif muni d'une valeur absolue, et non discret1 (par exemple le corps des réels ou des complexes).
Définition — Un K-espace vectoriel E est dit normé lorsqu'il est muni d'une norme, c'est-à-dire d'une application
N : E → R + {\displaystyle {\mathcal {N}}:E\to \mathbb {R} ^{+}} \mathcal N:E\to\R^+
satisfaisant les hypothèses suivantes :
séparation : ∀ x ∈ E , N ( x ) = 0 ⇒ x = 0 E {\displaystyle \forall x\in E,\ {\mathcal {N}}(x)=0\Rightarrow x=0_{E}} \forall x \in E,\ \mathcal N(x)=0 \Rightarrow x=0_E ;
homogénéité : ∀ ( λ , x ) ∈ K × E , N ( λ x ) = | λ | N ( x ) {\displaystyle \forall (\lambda ,x)\in {\rm {K}}\times E,\ {\mathcal {N}}(\lambda x)=|\lambda |{\mathcal {N}}(x)} \forall (\lambda, x)\in {\rm K}\times E, \ \mathcal N (\lambda x) = |\lambda| \mathcal N (x) ;
sous-additivité (inégalité triangulaire) : ∀ ( x , y ) ∈ E 2 , N ( x + y ) ≤ N ( x ) + N ( y ) {\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ {\mathcal {N}}(x+y)\leq {\mathcal {N}}(x)+{\mathcal {N}}(y)} \forall (x,y) \in E^2,\ \mathcal N (x + y) \leq \mathcal N (x) + \mathcal N (y) .
S'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, la norme d'un élément x est notée ║x║.
La boule unité (fermée) de E est l'ensemble des vecteurs de norme inférieure ou égale à 1.
Exemples fondamentaux
Le corps K (égal ici à ℝ ou ℂ), muni de sa valeur absolue, est un K-espace vectoriel normé.
Pour tout ensemble non vide X et tout espace vectoriel normé E, l'espace ß(X, E) des applications bornées de X dans E, muni de la norme de la convergence uniforme
∥ f ∥ ∞ = sup x ∈ X ∥ f ( x ) ∥ , {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}\|f(x)\|,} \|f\|_{\infty}=\sup_{x\in X}\|f(x)\|,
est un espace vectoriel normé.
Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace Lp(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé. Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt ℓp(X).
Si X est un segment de ℝ ou plus généralement un compact de ℝn, muni de la mesure de Lebesgue, ces espaces Lp induisent les normes usuelles sur les espaces de fonctions continues sur X.
Sur ℓp({1, … , n}), on retrouve les normes usuelles sur Kn.
Si 1 ≤ p < ∞, l'espace ℓp(ℕ), noté simplement ℓp, est l'espace des suites p-sommables x = (xn)n≥0 d'éléments de K, muni de la norme
∥ x ∥ p = ( ∑ n = 0 ∞ | x n | p ) 1 p . {\displaystyle \Vert x\Vert _{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }\vert x_{n}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.} \Vert x\Vert_p=\left(\sum_{n=0}^\infty \vert x_n\vert^p\right)^{\frac1p}.
ℓ∞(X) est l'espace B(X, K) des fonctions bornées de X dans K (donc des suites bornées si X = ℕ).
Remarque. Dans ces exemples, il n'est pas trop difficile de vérifier que la norme 1 ou ∞ est bien une norme. Pour la norme 2, c'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour p quelconque, l'inégalité triangulaire, qui porte le nom d'inégalité de Minkowski, est plus cachée.
Sous-espace et espace produit
Tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé est normé par la restriction de la norme.
Soit (E, ║∙║E) et (F, ║∙║F) deux espaces vectoriel normés, alors l'application ║∙║E×F définie par l'égalité suivante est une norme sur l'espace vectoriel produit E×F :
∀ ( x , y ) ∈ E × F ∥ ( x , y ) ∥ E × F = max ( ∥ x ∥ E , ∥ y ∥ F ) . {\displaystyle \forall (x,y)\in E\times F\qquad \|(x,y)\|_{E\times F}=\max(\|x\|_{E},\|y\|_{F}).} \forall (x,y) \in E\times F \qquad \|(x,y)\|_{E\times F}=\max(\|x\|_E,\|y\|_F).
Espace quotient
Soit F un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé E. On définit l'application ║∙║E/F sur l'espace vectoriel quotient E/F par :
∀ x ∈ E ∥ x ¯ ∥ E / F = d ( x ¯ , F ) = d ( x , F ) = inf u ∈ x ¯ ∥ u ∥ E {\displaystyle \forall x\in E\quad \|{\bar {x}}\|_{E/F}=d({\bar {x}},F)=d(x,F)=\inf _{u\in {\bar {x}}}\|u\|_{E}} \forall x\in E \quad \|\bar x\|_{E/F} =d(\bar x,F)=d(x,F)=\inf_{u\in \bar x} \|u\|_E,
où d est la distance sur E (et sur ses parties) induite par la norme.
Propriété — L'application ║∙║E/F est une semi-norme sur l'espace vectoriel quotient E/F. C'est une norme si et seulement si F est fermé.
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Démonstration
D'après les propriétés topologiques du quotient, une application linéaire f de E dans un espace vectoriel normé G est continue si et seulement si l'injection linéaire canonique f de E/ker(f) dans G par laquelle f se factorise l'est (elles ont alors même norme).
Topologie
Topologie d'un sous-espace, produit, quotient
Comme le montre l'article norme, la norme sur un espace vectoriel induit une distance donc une topologie, pour laquelle l'addition et la multiplication externe sont continues, ce qui entraîne de nombreuses propriétés, par exemple : l'adhérence de tout sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel et (pour un espace vectoriel réel) l'adhérence et l'intérieur d'une partie convexe sont convexes.
Pour tout sous-espace vectoriel F, la topologie induite par celle de l'espace coïncide avec celle issue de sa distance donc de sa norme (restrictions de celles sur l'espace entier) : c'est une propriété générale des espaces métriques et de leurs sous-espaces.
La configuration est la même pour le produit de deux espaces E et F. Pour la norme ║∙║E×F définie précédemment, les boules de centre (x, y) et de rayons r > 0 (qui constituent une base de voisinages de (x, y) pour la topologie associée à cette norme) ne sont autres que les B(x, r)×B(y, r), donc constituent également une base de voisinages pour la topologie produit. Remarquons l'adéquation de la définition de ║∙║E×F à partir de ║∙║E et ║∙║F, qui pouvait a priori sembler arbitraire. Mais signalons que la même topologie sur E×F est obtenue en posant ║(x, y)║E×F = N(║x║E, ║y║F) où N est une norme quelconque sur ℝ2, par exemple l'une des normes usuelles mentionnées plus haut. Ceci est dû au fait que N est toujours équivalente à la norme max utilisée ici.
La situation reste analogue pour un quotient E/F. En effet, si φ est la projection canonique de E dans E/F, une base de voisinages de φ(x) pour la topologie quotient est constituée des φ(B(x,r)) (pour r > 0), qui coïncident exactement avec les boules (dans E/F, pour la semi-norme induite) de centre φ(x) et de rayon r.
Ainsi, la topologie induite sur un sous-espace, un produit d'espaces ou un quotient coïncide avec celle issue de la norme induite (ou de la semi-norme induite, dans le cas d'un quotient par un sous-espace non fermé).
Opérateur borné
Un opérateur borné entre deux espaces vectoriels normés est simplement une application linéaire continue. Cette double appellation est justifiée par la proposition suivante :
Proposition2 — Soient E et F deux K-espaces vectoriels normés. Pour une application linéaire f de E dans F, les propriétés suivantes sont équivalentes :
f est continue ;
f est continue en 0 ;
l'image par f de toute boule de centre 0 (donc de toute partie bornée) est bornée ;
l'image par f la boule unité fermée est bornée ;
∃ K ≥ 0 ∀ x ∈ E ∥ f ( x ) ∥ ≤ K ∥ x ∥ {\displaystyle \exists K\geq 0\quad \forall x\in E\quad \|f(x)\|\leq K\|x\|} {\displaystyle \exists K\geq 0\quad \forall x\in E\quad \|f(x)\|\leq K\|x\|} ;
f est lipschitzienne ;
f est uniformément continue.
La norme d'opérateur d'un tel f est la plus petite constante C telle que f soit C-lipschitzienne.
Si une application linéaire f de E dans F est continue, alors son noyau est fermé (car c'est l'image réciproque du fermé {0} par l'application continue f). La réciproque est fausse (on construit même facilement des injections linéaires non continues). Cependant, si f est de rang fini et de noyau N fermé alors f est continue (en effet, elle se factorise alors par une application f de E/N dans F qui est continue, car linéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie).
Dans l'espace vectoriel L(E, F) des applications linéaires de E dans F, le sous-espace vectoriel de celles qui sont continues se note ℒ(E, F). La norme d'opérateur en fait un espace vectoriel normé.
Complétude
Articles détaillés : Espace complet et Espace de Banach.
Un espace vectoriel normé complet porte le nom d'« espace de Banach ». Un espace vectoriel normé n'est pas nécessairement complet, c'est-à-dire que les suites de Cauchy ne sont pas nécessairement convergentes. Par exemple, l'espace préhilbertien engendré par les polynômes trigonométriques n'est pas complet. De manière plus générale :
Proposition 1 — Dans un espace de Banach, il n'existe pas de base (algébrique) infinie dénombrable3.
Le complété d'un espace vectoriel normé4 jouit de propriétés supplémentaires par rapport au complété d'un simple espace métrique :
Proposition 2 — Pour tout espace vectoriel normé E, il existe un espace de Banach Ec et une isométrie linéaire J, de E dans Ec, dont l'image est dense dans Ec.
En général, E est identifié à son image J(E) dans Ec. Ainsi, E apparait comme un sous-espace vectoriel de Ec, et la norme sur E induite par la norme de Ec coïncide avec la norme originelle sur E car J est une isométrie.
Le remplacement d'un espace E par son complété Ec ne modifie pas l'espace des applications linéaires continues de E dans F si F est complet (cette propriété permet de montrer que la proposition précédente caractérise l'espace vectoriel normé Ec à isomorphisme près). Plus généralement :
Proposition 3 — Soient G un espace vectoriel normé, E un sous-espace vectoriel dense et F un espace de Banach. Alors, pour la norme des opérateurs, l'application « restriction », de ℒ(G, F) dans ℒ(E, F), est un isomorphisme isométrique.
La complétude de F se « transmet » à l'espace des applications linéaires continues à valeurs dans F :
Proposition 4 — Soient E et F deux espaces vectoriels normés. Si F est complet alors l'espace ℒ(E, F) muni de la norme des opérateurs est complet.
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Démonstrations
Théorème de Riesz
Article détaillé : Théorème de compacité de Riesz.
Ce théorème stipule que si la boule unité (fermée) d'un espace vectoriel normé E réel ou complexe est compacte, alors E est de dimension finie.
Autrement dit, la boule unité fermée d'un espace vectoriel normé de dimension infinie est toujours non compacte.
Cependant, la boule unité fermée de son dual topologique (de dimension infinie également) est *-faiblement compacte, c'est-à-dire compacte pour la topologie faible-* : voir Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki.
Cas particuliers
Espace préhilbertien
Article détaillé : Espace préhilbertien.
Un espace est dit préhilbertien s'il dispose d'une norme dérivée d'un produit scalaire, sans être nécessairement complet. (Un espace préhilbertien complet est un espace de Hilbert). Le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan caractérise ces normes : ce sont celles vérifiant l'identité du parallélogramme. Cette identité est alors encore vérifiée dans le complété, qui est donc naturellement un espace de Hilbert (on peut le voir plus directement en prolongeant continûment le produit scalaire au complété, par continuité de Cauchy ou par identité de polarisation).
Dimension finie
Article détaillé : Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur le corps K des réels ou des complexes6.
Toutes les normes sur E sont équivalentes (donc définissent la même topologie).
Cette topologie sur E est la seule qui en fasse un espace vectoriel topologique séparé.
Pour toute norme sur E :
toute application linéaire de E dans un espace vectoriel normé quelconque est (uniformément) continue ;
en particulier, E est (uniformément) homéomorphe à Kn ;
E est complet ; en particulier, tout sous-espace E de dimension finie d'un espace vectoriel normé F sur K de dimension quelconque est fermé dans F ;
les parties compactes de E sont les fermés bornés, comme la boule unité fermée.
Notes et références
↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. IX.31-32 sur Google Livres.
↑ Pour une démonstration, voir par exemple le § « Continuité des applications linéaires » de la leçon « Espaces vectoriels normés » sur la Wikiversité.
↑ (en) Saminathan Ponnusamy, Foundations of Functional Analysis, CRC Press, 2003 (ISBN 9780849317170, lire en ligne [archive]), p. 294, Theorem 5.103.
↑ Si le corps n'est pas complet, l'espace Ec n'est plus de même nature. Ainsi le complété d'un espace vectoriel de dimension 1 sur le corps des rationnels est isomorphe à l'espace vectoriel des nombres réels sur le corps des rationnels.
↑ Pour une démonstration plus élémentaire, cf. Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, p. 288, exercice 65.
↑ Ou plus généralement, sur un corps « valué » (au sens : muni d'une valeur absolue) non discret localement compact (donc complet).
Voir aussi
Sur les autres projets Wikimedia :
Espaces vectoriels normés, sur Wikiversity
Articles connexes
Application linéaire non continue (en)
Espace localement convexe
Bibliographie
Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
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Géométrie différentielle et algébrique Groupe de Lie · Groupe algébrique
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https://www.youtube.com/watch?v=CzB5hFINC_kNotes et références
↑ G.B. Lancaster, « The Glorious Dead », Ashburton Guardian, vol. XL, no 9146, 31 octobre 1919, p. 7 (lire en ligne [archive])
↑ a, b, c et d (en) « BBC - Remembrance - Cenotaph » [archive], BBC (consulté le 3 juillet 2011)
↑ a et b Allan Greenberg, Lutyens's Cenotaph, Journal of the Society of Architectural Historians (JSTOR 990403)
↑ a, b et c Gerard Gliddon et Timothy John Skelton, Lutyens and the Great War, Londres, Frances Lincoln, 2008 (ISBN 978-0-7112-2878-Cool, « Southampton and London: A Tale of Two Cenotaphs », p. 36–47
↑ a, b, c, d, e, f et g « Flags on the Cenotaph »(Archive • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?) (consulté le 25 mars 2013)
↑ Holland and Hannen and Cubitts Ltd., Cubitts: its inception and development, Londres, Holland & Hannen and Cubitts Ltd., 1920, p. 10
↑ (en) « Whitehall Cenotaph »(Archive • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?) (consulté le 25 mars 2013)
↑ (en) « Inflation Calculator » [archive], Bank of England (consulté le 3 juillet 2011)
↑ (en) « The Unknown Warrior » [archive], sur BBC History (consulté le 3 juillet 2011)
↑ (en) The Burial of the Unknown Warrior [archive], Martin Hornby, The Western Front Association, 7 juillet 2008, consulté le 25 juillet 2011.
↑ The Western Front Association [archive]
↑ (en) « Centenary News: First World War News and Articles » [archive], sur centenarynews.com (consulté le 26 janvier 2015)
↑ « All London Silent at Armistice Hour », The New York Times, 12 novembre 1919 (lire en ligne [archive])
↑ (en) Regimental Church and Collect [archive], The Royal Tank Regiment Association, consulté le 5 octobre 2011
↑ Regimental Day [archive], The Royal Tank Regiment Association, consulté le 5 octobre 2011
↑ The history of the Association - today [archive], Combined Irish Regiments Old Comrades Association, consulté le 5 octobre 2011
↑ (en) The history of the Association [archive], Combined Irish Regiments Old Comrades Association, consulté le 5 octobre 2011
↑
http://www.rtbf.be/info/belgique/detail_cenotaphe-de-londres-le-prince-joachim-defile-en-armes?id=6468453 [archive]
↑ (en) « The Cenotaph in Whitehall » [archive], RAF Habbaniya Association (consulté le 3 juillet 2011)
↑ (en) « Brief Information on Proposed Grade 1 Items » [archive] [PDF], Leisure and Cultural Services Department, Hong Kong (consulté le 3 juillet 2011)
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « The Cenotaph, Whitehall » (voir la liste des auteurs).
L'UNIVERS OU Théorème de réarrangement de Riemann
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Théorème de réarrangement de Riemann
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Riemann.
En mathématiques, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à termes réels est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, ou même tende vers plus ou moins l'infini. Il en résulte que dans ℝ, toute série inconditionnellement convergente est absolument convergente (autrement dit : toute famille sommable est absolument sommable).
Sommaire
1 Énoncé
2 Exemple
3 Démonstration
3.1 Remarque préliminaire
3.2 Construction de la permutation
3.3 Convergence
4 Généralisation
5 Références
Énoncé
Soit (un)n∈ℕ une suite à termes réels dont la série associée est semi-convergente, c'est-à-dire que
( 1 ) ∑ k = 0 n u k ⟶ n → ∞ ℓ ∈ R mais ( 2 ) ∑ k = 0 n | u k | ⟶ n → ∞ + ∞ , {\displaystyle (1)\quad \sum _{k=0}^{n}u_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\ell \in \mathbb {R} \quad {\text{mais}}\quad (2)\quad \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}+\infty ,} {\displaystyle (1)\quad \sum _{k=0}^{n}u_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\ell \in \mathbb {R} \quad {\text{mais}}\quad (2)\quad \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}+\infty ,}
et soit
α ∈ R ∪ { − ∞ , + ∞ } . {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}.} {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}.}
Alors il existe une permutation σ de ℕ telle que
∑ k = 0 n u σ ( k ) ⟶ n → ∞ α . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\alpha .} {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\alpha .}
Exemple
Prenons l'exemple de la série harmonique alternée. On définit donc une suite (un)n∈ℕ par
∀ n ∈ N , u n = ( − 1 ) n n + 1 , {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n+1}},} {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n+1}},}
dont la série converge d'après le critère de convergence des séries alternées, mais ne converge pas absolument car la série harmonique diverge. Notons ℓ sa somme (on la connaît : ℓ = ln(2)).
En réarrangeant les termes, la série devient :
( 1 − 1 2 − 1 4 ) + ( 1 3 − 1 6 − 1 8 ) + ( 1 5 − 1 10 − 1 12 ) + … + ( 1 2 k − 1 − 1 4 k − 2 − 1 4 k ) + … {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{4k-2}}-{\frac {1}{4k}}\right)+\ldots } {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{4k-2}}-{\frac {1}{4k}}\right)+\ldots }
= ( 1 2 − 1 4 ) + ( 1 6 − 1 8 ) + ( 1 10 − 1 12 ) + … + ( 1 4 k − 2 − 1 4 k ) + … {\displaystyle =\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{4k-2}}-{\frac {1}{4k}}\right)+\ldots } {\displaystyle =\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{4k-2}}-{\frac {1}{4k}}\right)+\ldots }
= 1 2 ( 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + … ) = ℓ 2 . {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots \right)={\frac {\ell }{2}}.} {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots \right)={\frac {\ell }{2}}.}
Conclusion : la permutation choisie est telle que la nouvelle série converge vers la moitié de la somme de la série de départ.
En généralisant le procédé, on peut faire converger un réarrangement de cette série vers n'importe quel nombre réel α :
Par exemple en sommant alternativement (dans l'ordre) a termes positifs et b termes négatifs (la série alternée elle-même correspond à a = b = 1 et le cas précédent correspond à a = 1 et b = 2), on obtient une série qui converge vers ln(2√a/b), d'après le développement suivant, quand n tend vers l'infini, de la somme de p = an termes positifs et q = bn ou b(n – 1) termes négatifs, qui utilise un développement asymptotique de la suite Hn des sommes partielles de la série harmonique :
∑ k = 1 p 1 2 k − 1 − ∑ k = 1 q 1 2 k = ( H 2 p − H p 2 ) − H q 2 = ln ( 2 p ) + γ − ln ( p ) + γ 2 − ln ( q ) + γ 2 + o ( 1 ) = ln ( 2 p / q ) + o ( 1 ) ⟶ n → ∞ ln ( 2 a / b ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{p}{\frac {1}{2k-1}}-\sum _{k=1}^{q}{\frac {1}{2k}}&=\left(H_{2p}-{\frac {H_{p}}{2}}\right)-{\frac {H_{q}}{2}}\\&=\ln(2p)+\gamma -{\frac {\ln(p)+\gamma }{2}}-{\frac {\ln(q)+\gamma }{2}}+o(1)\\&=\ln(2{\sqrt {p/q}})+o(1)\\&{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\ln(2{\sqrt {a/b}}).\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{p}{\frac {1}{2k-1}}-\sum _{k=1}^{q}{\frac {1}{2k}}&=\left(H_{2p}-{\frac {H_{p}}{2}}\right)-{\frac {H_{q}}{2}}\\&=\ln(2p)+\gamma -{\frac {\ln(p)+\gamma }{2}}-{\frac {\ln(q)+\gamma }{2}}+o(1)\\&=\ln(2{\sqrt {p/q}})+o(1)\\&{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\ln(2{\sqrt {a/b}}).\end{aligned}}}
Plus généralement, en choisissant alternativement pn termes positifs et qn termes négatifs avec pn/qn → r = e2α/4, la somme du réarrangement sera, de même, ln(2√r) = α.
Démonstration
On suppose ici que α appartient à ℝ.
Remarque préliminaire
Posons
∀ n ∈ N , a n = max ( u n , 0 ) = u n + | u n | 2 et b n = min ( u n , 0 ) = u n − | u n | 2 . {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ a_{n}=\max(u_{n},0)={\frac {u_{n}+|u_{n}|}{2}}\quad {\text{et}}\quad b_{n}=\min(u_{n},0)={\frac {u_{n}-|u_{n}|}{2}}.} {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ a_{n}=\max(u_{n},0)={\frac {u_{n}+|u_{n}|}{2}}\quad {\text{et}}\quad b_{n}=\min(u_{n},0)={\frac {u_{n}-|u_{n}|}{2}}.}
On a alors, d'après (1) et (2),
( 3 ) ∑ k = 0 n a k ⟶ n → ∞ + ∞ et ∑ k = 0 n b k ⟶ n → ∞ − ∞ . {\displaystyle (3)\quad \sum _{k=0}^{n}a_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}+\infty \quad {\text{et}}\quad \sum _{k=0}^{n}b_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}-\infty .} {\displaystyle (3)\quad \sum _{k=0}^{n}a_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}+\infty \quad {\text{et}}\quad \sum _{k=0}^{n}b_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}-\infty .}
Construction de la permutation
On construit une permutation σ de ℕ de la façon suivante. On commence à sommer les termes positifs ou nuls (sans en omettre) jusqu'à dépasser α (possible d'après (3)). Puis on somme tous les termes strictement négatifs jusqu'à ce que la somme partielle soit strictement inférieure à α (possible d'après (3)). Puis on itère le procédé, en sommant les termes positifs à partir de là où on s'était arrêté, puis les termes négatifs, etc. On a bien construit une permutation.
Convergence
Notons (xn)n∈ℕ la suite des sommes partielles obtenues à chaque fin de sommation de termes positifs, et (yn)n∈ℕ celle des sommes partielles à chaque fin de sommation de termes négatifs. La suite complète des sommes partielles croît jusqu'à x0, puis décroît jusqu'à y0, puis croît jusqu'à x1, etc. Pour montrer qu'elle converge vers α, il suffit donc de montrer que les deux sous-suites (xn) et (yn) convergent vers α.
Or si ukn désigne le dernier terme de la somme partielle xn, on a par construction :
x n − u k n ≤ α < x n donc 0 < x n − α ≤ u k n . {\displaystyle x_{n}-u_{k_{n}}\leq \alpha <x_{n}\quad {\text{donc}}\quad 0<x_{n}-\alpha \leq u_{k_{n}}.} {\displaystyle x_{n}-u_{k_{n}}\leq \alpha <x_{n}\quad {\text{donc}}\quad 0<x_{n}-\alpha \leq u_{k_{n}}.}
Comme la suite des indices kn est strictement croissante, elle tend vers l'infini donc, d'après (1),
lim n → ∞ u k n = lim k → ∞ u k = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{k_{n}}=\lim _{k\to \infty }u_{k}=0.} {\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{k_{n}}=\lim _{k\to \infty }u_{k}=0.}
Ceci prouve que la suite (xn) converge vers α. On procède de même pour (yn), ce qui achève la preuve.
Généralisation
Article détaillé : Théorème de réarrangement de Steinitz.
Ernst Steinitz a démontré que pour toute série semi-convergente à termes dans un espace vectoriel réel de dimension finie, l'ensemble des sommes des « réarrangements » qui convergent forme un sous-espace affine de dimension non nulle.
Références
Bernhard Riemann, « Histoire des recherches relatives à la représentation par une série trigonométrique d'une fonction donnée arbitrairement », dans Stephen Hawking, Et Dieu créa les nombres : les plus grands textes de mathématiques, Dunod
(en) Mikhail I. Kadet︠s︡ (en) et Vladimir M. Kadet︠s︡, Series in Banach spaces: conditional and unconditional convergence, Birkhäuser, coll. « Operator Theory, Advances and Applications » (no 94), 1997 (ISBN 978-3-76435401-5, lire en ligne [archive]), chap. 2, § 1 (« Steinitz's Theorem on the Sum Range of a Series »), p. 13-20
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